一、资金时间价值概述

资金时间价值是指一定量的货币在不同时点上的价值量的差额。在市场经济条件下，即使不存在通货膨胀，等量资金在不同的时点上价值量也不相等。如果把今天的1元钱存入银行，可以得到银行利息；如果把它用于投资，可以取得一定的利润。将今天的1元钱存入银行，如果1年后得到1.10元，那说明1元钱经过1年时间的投资增加了0.10元，这个增值额就是资金的时间价值。资金的时间价值有两种表现形式：一种是相对数形式，即资金的时间价值率，是指一定时期内一定量的资金增值额与本金的比率；另一种是绝对数形式，即资金的时间价值额，是指一定时期内一定量资金的增值额。从量的规定性来看，资金的时间价值是没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。由于竞争，市场经济中各部门投资的利润率趋于平均化，因此，资金的时间价值成为评价投资方案的基本标准。把资金的时间价值引入财务管理，主要是对资金的筹集、投放、使用和收回等活动从量上进行分析，是提高财务管理水平，搞好筹资、投资、分配决策的有效保证。

二、资金时间价值的计算

在企业财务管理中，要正确进行短期经营决策和长期投资决策，就必须搞清楚不同时点支出或收回的资金价值之间的数量关系。在计算资金时间价值之前，首先应理解现值和终值两个基本概念。

例如，如果将100元资金存入银行，期限为1年，假定银行1年期的定期存款利率为5%，1年后该项资金的本利和为105元。该例中，原存人的100元资金是1年后收到的本利和105元的现值，而1年后收到的本利和105元则是原100元资金的终值。因此，现值也称本金，是指未来某一时点上的一定量资金折现为现在的价值。上述1年后105元折现为现在的价值为100元，这100元即为现值；终值也称将来值，是指一定量的现金在未来某一时点上的价值，俗称本利和。

资金时间价值的计算有单利和复利之分。

（一）单利的计算

单利是指在规定的期限内，只就本金计算利息。单利是计算利息的一种方法，主要特点是对本金产生的利息不计息。单利的计算包括计算单利利息、单利终值和单利现值。在单利计算中，经常使用以下符号：

I代表利息；P代表现值；F代表终值；i代表每一利息期的利率（折现率）；n代表计算利息的期数。

1.单利利息的计算

单利利息是指在规定的期限内只就本金所计算的利息，而对规定的期限内产生的利息不计算利息。其计算公式为：

【例3-1】商运公司存入银行10000元资金，期限2年，年利率为5%，则到期利息为：

2.单利终值的计算

单利终值是指按单利计算的某一特定资金额在一定时期期末的本利和。其计算公式为：

【例3-2】商运公司投资100000元购买利率为5%的债券，期限为3年，按单利计算的债券终值为：

3.单利现值的计算

单利现值是指将以后某一特定时期的资金按单利折现为现在的价值，单利现值的计算是单利终值的逆运算。其计算公式为：

【例3-3】商运公司期望在5年后得到300万元的一笔资金，在年利率为5%的情况下，现在应存入银行多少资金？5年后300万元的现值为：

（二）复利的计算

复利是指在一定期间（如1年）按一定利率将本金所生利息加入本金再计利息，俗称利滚利。复利的计算包括计算复利终值、复利现值和复利利息。

1.复利终值

复利终值是指一定量的本金按复利计算若干期后的本利和。其计算公式为：

式中的称为“复利终值系数”或“1元的复利终值”,表示现在的1元钱按一定的利率计算若干时期以后值多少钱，用符号（F/P，i，n）表示。复利终值系数也可以通过査阅“1元复利终值表”直接获得，该表见书后附表一。

【例3-4】商运公司将100000元存人银行，年存款利率为5%，则经过3年时间的本利和是多少？

本例（F/P，5%，3）表示利率为5%，3年期复利终值系数。通过査“1元复利终值表”，（F/P，5%，3）为1.1576。

2.复利现值

复利现值相当于原始本金，是指今后某一特定时间收到或支付的一定款项，按折现率所计算的现在时点的价值。其计算公式为：

       

即：

式中的是把终值折算为现值的系数，称为“复利现值系数”或“1元的复利现值”，表示未来一定时期的1元钱按一定的利率折算相当于现在的多少钱，用符号（P/F，i，n）表示。复利现值系数可以通过査阅“1元复利现值表”直接获得，该表见书后附表二。

【例3-5】商运公司准备将暂时闲置的资金一次性存入银行，以备3年后更新价值为500000元的设备之用，银行存款年利率为5%，按复利计算该公司目前应该存人多少资金？

査复利现值系数表，其中i=5%、n=3相对应的复利现值系数为0.8638,该公司目前应该存入资金数为：

（三）年金的计算

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，通常记作A。年金有两个特点：一是每期相隔时间相同；二是每期收入或支出的金额相等。年金的形式多种多样，如租金、折旧、保险费、等额分期收款、等额分期付款、偿债基金等，都属于年金问题。年金按每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等几种。其中普通年金应用最为广泛，其他几种年金均是在普通年金的基础上推算出来的。

1.普通年金

普通年金是指从第一年起，在一定时期内每期期末等额发生的系列收付款项，也称后付年金。

（1）普通年金终值的计算。普通年金终值是指每期期末收入或支出等额资金的复利终值之和。其计算公式为：

式中的称为“年金终值系数”，是普通年金为i元、利率为i、经过n期的年金终值，记为（F/A，i，n），通过直接查阅“1元年金终值表”求得有关数值，该表见书后附表三。

【例3-6】商运公司拟在今后10年中，每年年末存人银行10000元，银行存款利率为6%，10年后的本利和是多少？

查年金终值系数表，其中i=6%、n=10相对应的年金终值系数为13.181,10年后的本利和为：

（2）偿债基金的计算。偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某种债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。每次形成的等额准备金类似年金存款，同样可以获得按复利计算的利息，债务实际上等于年金终值。偿债基金的计算是年金终值的逆运算。其计算公式为：

式中的，,称为“偿债基金系数”，记为（A/F，i，n）,通过年金终值系数的倒数推算出来。上式也可写作：

            

或：  

【例3-7】商运公司拟在5年后还清100000元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项。银行存款利率为5%，每年需要存入多少元？

査年金终值系数表，其中i=5%、n=5相对应的年金终值系数为5.5256，则偿债基金系数为0.18097（1÷5.5256）。

每年需要存入数额为：

           

或：   

（3）普通年金现值的计算。年金现值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和。其计算公式为：

式中的称为“年金现值系数”，是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金现值，记为（P/A，i，n），通过直接査阅“1元年金现值表”求得有关数值，该表见书后附表四。

【例3-8】商运公司租人某设备，每年年末需要支付租金500元，年复利率为6%，则5年内应支付租金总额的现值为：

查年金现值系数，其中i=6%、n=5相对应的年金现值系数为4.2124,5年内应支付租金总额的现值为：

（4）年资本回收额的计算。资本回收是指在给定的年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠的价值指标，是年金现值的逆运算。其计算公式为：

式中的称为“资本回收系数”，记为（A/P，i，n）,通过年金现值系数的倒数推算出来。上式也可写作：

        

或：

【例3-9】商运公司以7%的利率借得200000元，投资某个寿命为10年的项目，每年至少收回多少现金才是有利的？

查年金现值系数表，其中i=7%、n=10相对应的年金现值系数为7.0236，则资本回收系数为0.1424（1÷7.0236）。每年需要收回数额为：

            

或：   

2.即付年金

即付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额发生的收付系列款项，也称先付年金、预付年金。它与普通年金的区别仅在于收付款时间的不同。

（1）即付年金终值的计算。即付年金的终值是其最后一期期末时的本利和，是各期收付款项的复利终值之和。n期即付年金与n期普通年金的付款次数相同，但n期即付年金终值比n期普通年金终值多计算一期利息，因此，在n期普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是n期即付年金终值。其计算公式为：

式中的称为“即付年金终值系数”，它是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数值减1所得的结果。通常记为[（F/P，i，n+1）-1]，通过查阅“1元年金终值表”得到（n+1）期的值，然后减去1便可得出对应的即付年金终值系数的值。

【例3-10】商运公司决定连续5年于每年年初存入100000元作为住房基银行存款利率10%。则该公司在5年后能一次取出本利和为：

        

或：

（2）即付年金现值的计算。n期即付年金现值与n期普通年金现值的期限相同但由于其收付款时间不同，n期即付年金现值比n期普通年金现值少折现一期因此，在n期普通年金现值的基础上乘以（1+i）就是n期即付年金的现值。其计算公式为：

式中的称作“即付年金现值系数”，它是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数值加1所得的结果。通常记为[（P/A，i，n-1）+1]，查阅“1元年金现值表”得到（n-1）期的值，然后加1，便可得出对应的即付年金现值系数的值。即付年金现值公式可写为：

       

或：

【例3-11】商运公司拟6年分期付款购物，每年年初付2000元，银行存款利率为10%，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？

        

或：

3.递延年金

递延年金是指第一次收付款项发生时间与第一期无关，而是隔若干期（假设s期，s≥1）后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。

递延年金终值的大小，与递延期无关，故计算方法与普通年金终值相同。

递延年金现值的计算有两种方法。

第一种方法：

第二种方法：

上述第一种方法是先计算出n期普通年金现值，然后减去前s期的普通年金现值，即得递延年金的现值；第二种方法是先将此递延年金视为（n-s）期普通年金，求出在第s期期末的现值，然后再折算为第零期的现值。

【例3-12】商运公司在年初存人一笔资金，从第5年年末起每年年末取出10000元，到第10年年末取完,银行存款利率为10%。则此人应在最初一次存入银行的资金为：

         

或：  

4.永续年金

永续年金是指无期限等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。现实中的存本取息，可视为永续年金的一个例子。

永续年金没有终止的时间，也就没有终值。通过普通年金现值可推导出永续年金现值的计算公式为：

三、资金时间价值计算中的几个特殊问题

（一）折现率的推算

根据复利终值（或现值）的计算公式可得折现率（利息率）的计算公式为：

若已知F,P,n不用查表便可直接计算出折现率（利息率）。

永续年金折现率（利息率）i的计算比较简单。若已知P、A，则根据公式P=A/i，即得i的计算公式为：

i=A/P

普通年金折现率（利息率）i的计算比较复杂，无法直接套用公式，而必须利用有关的系数表。

根据普通年金终值F和年金现值P的计算公式可推算出年金终值系数（F/A，i，n）和年金现值系数（P/A，i，n）的算式：

（F/A，i，n）=F/A

（P/A，i，n）=P/A

根据已知的F、A，可求出F/A的值。通过查年金终值系数表，有可能在表内n期里找到等于F/A的系数值，只要读出该系数所在列的i值，即为所求的i同理，根据已知的P、A，可求出P/A的值。通过查年金现值系数表，可求出i值。必要时可采用内插法。

利用年金现值系数表推算i的步骤：

（1）计算出P/A的值，设P/A=a。

（2）查普通年金现值系数表。沿着已知n所在的行横向查找，若恰好能找到某一系数值等于a，则该系数值所在的列相对应的利率便为所求的i值。

（3）若无法找到恰好等于a的系数值，就应在表中n行上找与a最接近的两个左右临界系数值，设为β₁、β₂，读出β₁、β₂所对应的临界利率i₁、i₂，然后运用内插法。

（4）在内插法下，假定利率i同相关的系数在较小的范围内线性相关，因而可根据临界系数ββ和临界利率i₁、i₂计算出i，其计算公式为：

【例3-13】商运公司于第一年年初借款160000元，每年年末还本付息额均为40000元，连续5年还清。问借款利率是多少？

根据题意，已知n=5，P=160000，A=40000，则：

查n=5的普通年金现值系数表。在n=5一行上无法找到恰好等于4的系数值，于是在该行上找大于和小于4的临界系数值，分别为β₁=4.1002，β₂=3.9927，相对应的临界利率为i₁=7%，i₂=8%。则:

（二）期间的推算

期间n的推算，其原理和步骤同折现率（利息率）的推算相类似。现以普通年金为例，说明在已知P、A、i的情况下，推算期间n的基本步骤。

（1）计算出PM的值，设P/A=a.

（2）查普通年金现值系数表。沿着已知i所在的列纵向查找，若恰好能找到某一系数值等于a，则该系数值所在行的n值便为所求的期间值。

（3）若无法找到恰好等于a的系数值，就在该列査找与a最接近的两个上下临界系数值ββ及对应的临界期间n₁、n₂，然后运用内插法求n。其计算公式为：

【例3-14】依[例3-13]资料，假设借款利率为8%，问几年能还清？

根据题意，已知i=8%，P=160000,A=40000，则：

查普通年金现值系数表。在i=8%的列上纵向査找，无法找到恰好等于4的系数值，于是在该列上找大于和小于4的临界系数值，分别为β₁=9927，、β₂=4.6229，相对应的临界期间n₁=6，n₂=5,则：

（三）报价利率、计息期利率和有效年利率

以上有关计算均假定利率为年利率，每年复利一次。但实际上，复利的计息期不一定总是1年，有可能是季度、月或日。在复利计算中，如按年复利计息，1年就是1个计息期；如按季复利计息，1季就是1个计息期，1年就有4个计息期；如按月复利计息，1月就是1个计息期，1年就有12个计息期。计息期越短，1年中按复利计息的次数就越多，利息额就会越大。这就需要明确三个概念：报价利率、计息期利率和有效年利率。

1.报价利率

报价利率是指银行等金融机构提供的利率，也被称为名义利率。在提供报价利率时，还必须同时提供每年的复利次数（或计息期的天数），否则意义是不完整的。

2.计息期利率

计息期利率是指借款人每期支付利息的利率。它可以是年利率，也可以是半年利率、季度利率、每月或每日利率。其计算公式为：

当1年内复利几次时，实际得到的利率要比报价利率高。而且当报价利率一定的情况下，1年内复利次数越多，实际得到的利率越高。

3.有效年利率

有效年利率，是指按给定的期间利率每年复利m次时，能够产生的相同结果的年利率，也称等价年利率,即实际年利率。每年复利一次的年利率即为有效年利率（实际利率）。其计算公式为：

式中的r代表报价利率（名义利率），m代表复利次数，i代表有效年利率（实际利率）。

【例3-15】某公司年初存入100000元，年利率8%，每季复利一次，到第5年年末，该公司能得到多少本利和？

将数据代入公式：

可以看出，有效年利率高于报价利率。我们在计算资金时间价值时，往往不直接计算实际利率，而相应调整有关指标，即利率变为r/m，期数相应变为m×n。

【例3-：16】仍用[例3-16]资料，计算本利和。

（四）复利息

本金P的n期复利息等于：

I=F-P

【例3-17】本金100000元，投资5年，年利率8%，每年复利一次，其复利息为：

当1年内复利几次时，实际得到的利息要比按报价利率计算的利息高。如上例改为每季度复利一次，其他条件不变，则：

比每年复利一次的利息高1660元（48590-46930）。

（五）不等额现金流量现值的计算

前面讲的年金每次收入或支出的款项都是相等的，但在财务管理实践中，更多的情况是每次收入或支出的款项并不相等，而且经常需要计算这些不等额现金流量（现金流入量或现金流出量）的现值之和。

假设：A₀代表第0年年末的付款；

A₁代表第1年年末的付款；

A₂代表第2年年末的付款；

……

A_n代表第n年年末的付款。

则其现值计算公式可用图3-1表示。

【例3-18】某人第1年年初存入10000元，第1年年末存入20000元，以后连续6年每年年末都比上一年年末多存入10000元，折现率为5%，求这笔不等额存款的现值。

依题意，这笔不等额存款每年的存款额为：

（六）年金和不等额现金流量混合情况下的现值计算

在年金和不等额现金流量混合情况下，能用年金计算现值部分用年金计算，不能用年金计算的部分用复利公式计算，然后与年金计算部分加总，即可得出年金和不等额现金流量混合情况下的现值。

【例3-19】某公司投资了一个新项目，新项目投产后每年获得的净现金流量如表3-2所示，折现率为10%，求该项目净现金流量的现值。

在该例中，第1～3年每年净现金流量相等，可看作是求普通年金的现值，第5～7年的净现金流量也相等，看作是求递延年金的现值，第4年和第8年分别求复利现值。然后将各计算结果加总，即可得到该项目现金流量的现值。

               P=20000×（P/A，10%，3）+30000×（P/F，10%，4）+

                    40000×[（P/A，10%，7）-（P/A，10%，4）]+  50000×（P/F，10%，8）

                 =20000×2.4869+30000×0.6830+40000×（4.8684-3.1699）+50000×0.4665

                 =161493（元）

或：      P=20000×（P/A，10%，3）+30000×（P/F，10%，4）+

                   40000×（P/A，10%，3）×（P/F，10%，4）+50000×（P/F，10%，8）

                =161493（元）